표본화 정리(Sampling Theorem) 다시보기

 

약 30년전에 통신이론을 처음 배울 때 Shannon의 표본화 정리를 공부하면서 그 결과의 흥미로움
에 감탄을 하던 기억이 지금도 새롭다. 그로부터 30년이 지난 지금 디지털 앰프를 설명하기 위한
첫걸음으로서 표본화 정리를 다시 들여다 본다. 디지털 신호에 관한 공부를 하려면 반드시 알고
넘어 가야 할 이론이 바로 표본화 정리이다. 표본화 정리를 말로 설명하면 다음과 같다.

임의의 신호 s(t)의 Fourier Transform이 S(f)이고, S(f)가 –f_m과 f_m사이에서만 값이 존재
할 때 신호 s(t)를 1/2f_m보다 작은 T_s의 시간간격으로 샘플링해서 전송한다면 수신측에서
아무런 왜곡없이 원신호 s(t)를 그대로 재생할수 있다.

이 표본화 정리를 우선 그림을 통해 설명해 보기로 하자. S(t)가 다음과 같은 형태를 가지고,

    

S(f)가 다음과 같은 형태를 가진다고 할 때

      

S(t)와 다음과 같은 Dirac delta 함수열을 곱셈기(Multiplier)를 통과시키면

      

다음과 같이 s(t)를 T_s의 시간간격으로 샘플링한 파형을 얻을수 있다.

  

이상을 종합하여 그려보면 다음과 같이 된다.

 

이제 약간의 수식을 사용하여 샘플링한 파형이 수학적으로는 어떻게 표시되는지 생각해

보기로 하자. 우선 Dirac delta 함수열(δ_T(t)로 표시하기로 하자.)은 다음과 같이 수식으로

표시된다.

     

Dirac delta 함수열에 s(t)를 곱하면 다음과 같이 된다.(s_s(t)로 표시하기로 하자.)

           

이제 s_s(t)의 Fourier Transform을 구하기 위해 "시간영역에서 두함수를 곱한 결과는 주파수 영역
에서 두함수를 Convolution시킨 결과와 같다" 는 Convolution 정리를 이용해 보자. 즉

s_s(t)=s(t)δ_T(t) ↔ S(f)*δ_T(f)=S_s(f)                      ( *는 Convolution 연산자이다.)

δ_T(t)의 Fourier Transform δ_T(f)는 다음과 같이 표시되기 때문에

        

S_s(f)= S(f)*δ_T(f)는 다음과 같이 된다.

      

이것을 그림으로 그려보면 다음과 같이 된다.

     

위의 그림을 보면 s(t)를 T_s의 시간간격으로 샘플링한 파형은 주파수 영역에서는 S(f)가

주기적으로 반복되는 형태를 취한다는 것을 알수 있다. 이제 1/T_s<2f_m인 경우를 생각해

보기로 하자. 이경우를 그림으로 그려보면 다음과 같이 된다.

           

따라서 이경우에는 S(f)가 겹쳐져 나타나기 때문에 원파형의 모양을 잃어버려서 복원이 불가능
해 진다. 만일 1/T_s=2f_m이라면 S_s(f)는 다음과 같은 형태를 취하게 되어 S(f)가 겹치지 않고 주기적
으로 나타나게 된다.
      
 따라서 컷오프 주파수가 f_m인 저역통과필터를 통과시키면 원파형인 S(f)만을 추출해 낼수 있다.
다음은 1/T_s>2f_m인 경우를 생각해 보기로 하자. 이경우에 S_s(f)는 다음과 같은 형태를 취하게 된다.

            

따라서 컷오프 주파수가 f_m보다 크고 1/T_s- f_m보다 작은 저역통과필터를 이용하여 원파형을 복원
시킬수 있다. 표본화 정리에 대한 설명을 마치기에 앞서 질문을 하나 해보자. 표본화 정리에서는
s(t)의 주파수 영역 함수인 S(f)를 – f_m과 f_m사이에서만 스펙트럼을 가진다고 가정하고 있다.
하지만 -∞에서 +∞사이의 주파수 스펙트럼을 가지는 신호도 있을것이다. 이경우에는 표본화 정리
를 어떻게 적용할수 있는가? 이에대한 답은 필터를 이용하여 원래 신호에서 필요로하는 주파수
대역만을 잘라내면 된다는 것이다.